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N°2 - Les puissances carrées et cubes - niv 3

N°2 - Les puissances carrées et cubes - niv 3

calcul

Rappel de français : dans 73, le chiffre 3 est l'exposant

Pour simplifier l'écriture de la multiplication d'un même nombre par lui même, on écrit "en exposant" le nombre de fois où ce nombre est répété dans le calcul.

Multiplications

On écrit :

On lit :

3 × 3 × 3 × 3

= 34

3 " puissance 4 "

5 × 5 × 5

= 53

5 " au cube " ou 5 " puissance 3 "

6 × 6

= 62

6 " au carré " ou 6 " puissance 2 "

8

= 81

Si la multiplication est le compteur des additions, la puissance est le compteur des multiplications.


Il est plus aisé d’écrire 54 que 5 × 5 × 5 × 5 mais cela revient au même.

Attention :

(- 3)2 = (- 3) × (- 3) = +9

mais

- 32 = - 3 × 3 = - 9

(- 2)4 = (- 2) × (- 2) × (- 2) × (- 2) = +16

mais

- 24= - 2 × 2 × 2 × 2 = -16

Lorsque le nombre est négatif, il ne faut donc pas supprimer les parenthèses dans l’écriture sous forme de puissance.



Question

Q1: Ecrivez sous forme de puissance, sans effectuer le calcul.

8 × 8 × 8 = (8)3 =

8 3

(- 3) × (- 3) =

(- 3)2

10 × 10 =

 

(- 2) × (- 2) × (- 2) =

 

8 × 8 × 8 × 8 × 8 =

 

- 4 × - 4 × - 4 =

 

10 × 10 × 10 =

 

10 × 10 × 10 × 10 × 10 =

 


8 × 8 × 8 =

83

(- 3) × (- 3) =

(- 3)2 et non - 32

10 × 10 =

102

(- 2) × (- 2) × (- 2) =

(- 2)3 et non - 23

8 × 8 × 8 × 8 × 8 =

85

- 4 × - 4 × - 4 =

(- 4)3 et non - 43

10 × 10 × 10 =

103

10 × 10 × 10 × 10 × 10 =

105

Remarques importantes :

  • Le résultat du calcul d'une puissance est positif si le nombre élevé à la puissance est lui-même positif ousi l'exposant est pair (2, 4, 6, 8 etc.).Donc un carré (puissance 2)est toujours positif.

Exemples :

(+ 4)3 = 4 × 4 × 4 = + 64

(Le nombre est positif, donc le résultat du calcul est positif)

(- 4)2 = (- 4) × (- 4) = +16

(Le nombre est négatif, mais l’exposant est pair. Le résultat du calcul est positif)

(- 4)4 = (- 4) × (- 4) × (- 4) × (- 4) = +256

(Le nombre est négatif, mais l’exposant est pair. Le résultat du calcul est positif)



  • Le résultat du calcul d'une puissance est négatif si le nombre élevé à la puissance est lui-même négatif et si l'exposant est impair (1, 3, 5, 7 etc.).

Exemples :

(- 4)3 = (- 4) × (- 4) × (- 4) = - 64

(- 2)3 = (- 2) × (- 2) × (- 2)= - 8

(- 4)5 = (- 4) × (- 4) × (- 4) × (- 4) × (- 4) = - 1024



  • Attention : comme nous l’avons déjà indiqué, (- 4)2 est différent de - 42. En effet, s’il n’y a pas de parenthèses, la puissance (compteur de multiplications) est prioritaire sur l’addition/soustraction, donc :
    - 42 = - (4×4) = - 16 alors que (- 4)2 = (-4) × (-4) = + 16

Conventions d'écriture

Question

Q2: Calculez, en faisant attention au signe.

273 =

102 =

1451 =

3052 =

103 =

- 413 =

(- 202)2 =

106 =

- 273 =

105 =

(- 551)2 =

- 5512 =


273 =

19 683

102 =

100

1451 =

145

3052 =

93 025

103 =

1000

- 413 =

- 68 921

(- 202)2 =

40 804

106 =

1 000 000

- 273 =

-19 683

105 =

100 000

(- 551)2 =

303 601

- 5512 =

- 303 601

Question

Q3: Calculez.

- 7 × 103 =

 

8 × (- 3)4 =

 

- 3 × (- 8)2 × 2 =

 

- 2 × (- 5)3 × 3 =

 

- 2 × (- 4)2 =

 


- 7 × 103 = - 7 × 1 000 =

- 7 000

8 × (- 3)4 = 8 × 81 =

648

- 3 × (- 8)2 × 2 = - 3 × 64 × 2 =

- 384

- 2 × (- 5)3 × 3 = - 2 × - 125 × 3 =

750

- 2 × (- 4)2 = - 2 × 16 =

- 32

Question

Q4: Calculez.

5 + 2 × 82 - 4 =

 

2 × 73 - 4 × 3 =

 

8 × 4 - 7 × 23 =

 

8 + 2 × 53 - 14 =

 

5 × 32 - 3 × 2 + 52 =

 


Calculez

5 + 2 × 82 - 4 = 5 + 2 × 64 - 4 = 5 + 128 – 4 =

129

2 × 73 - 4 × 3 = 2 × 343  - 12 =

674

8 × 4 - 7 × 23 = 32 - 56 =

- 24

8 + 2 × 53 - 14 = 8 + 2 × 125  – 14 = 8 + 250 – 14 =

244

5 × 32 - 3 × 2 + 52 = 5 × 9 - 6 + 25 =

64

5

Très important : lorsqu’un calcul sans parenthèses fait appel à des puissances, des multiplications, des additions ou des soustractions, il faut exécuter en priorité la puissance, puis la multiplication et enfin l’addition ou la soustraction.

De plus, s’il y a des parenthèses il faudra (comme nous le savons déjà) effectuer d’abord les calculs entre parenthèses.

4 + 2 × 32 = 4 + 2 × 9 = 22

(4 + 2) × 32 = 6 × 32 = 6 × 9 = 54



Question

Q5: Calculez.

8 + 2 × 4  =

 

42 - 5 × 10 + 5 =

 

102 × 72 + 5 × 10 =

 

18 - 102 × 92 – 5 × 4 =

 


Calculez

8 + 2 × 4  = 8 + 8 =

16

42 - 5 × 10 + 5 = 16 – 50 + 5 =

- 29

102 × 72 + 5 × 10 = 100 × 72 + 5 × 10 = 7200 + 50 =

7250

18 - 102 × 92 – 5 × 4 = 18 -100 × 81– 5 × 4 = 18 - 8100 - 20 =

- 8102

Question

Q6: Calculez.

8 × 4 + 2 × 4  =

 

42 × 4 - 5 × 10 + 5 × 8 =

 

82 × 72 + 5 × 102 =

 

18 × 102 × 92 – 5 3 × 4 =

 


Calculez

8 × 4 + 2 × 4  = 32 + 8 =

40

42 × 4  - 5 × 10 + 5 × 8 = 16 × 4 - 5 × 10 + 5 × 8 = 64 – 50 + 40 =

54

82 × 72 + 5 × 102 = 64 × 72 + 5 × 100 = 4 608 + 500 =

5 108

18 × 102 × 92– 5 3 × 4 = 18 × 100 × 81 - 125 × 4  = 145 800 – 500 =

145 300

Question

Q7: Après avoir effectué les calculs entre parenthèses, calculez le résultat.

(8 + 22) × (4 - 33) =12 × (- 23) =

- 276

(42 - 5) × (10 - 23) × 5 =

 

-102 × (72 + 5) - 10 =

 

(18 - 102) × (92 - 53) + 4 =

 


(8 + 22) × (4 - 33) =12 × (- 23) =

- 276

(42 - 5) × (10 - 23) × 5 =

110

-102 × (72 + 5) - 10 =

- 5410

(18 - 102) × (92 - 53) + 4 =

3612

Question

Q8: Après avoir effectué les calculs entre parenthèses, calculez le résultat.

(8 + 102) × (18 - 153) =

108 × (- 3357) =

- 362 556

(142 - 5) × (10 - 83) × 5

104 × (72 + 5) - 10 =

(18 - 105) × (104 - 53) + 4 =


(8 + 102) × (18 - 153) = 108 × (- 3 357) =

- 362 556

(142 - 5) × (10 - 83) × 5 = 191 × (- 502) × 5 =

- 479 410

104 × (72 + 5) - 10 = 10 000 × 54 - 10 =

539 990

(18 - 105) × (104 - 53) + 4 = - 99 982 × 9 875 + 4 =

- 987 322 246