N°2 - Les difficultés d’utilisation des pourcentages - niv 4 à 5

N°2 - Les difficultés d’utilisation des pourcentages - niv 4 à 5
En formation de niveau 3 (CAP), on n'étudiera pas ce § ni les suivants.     



Au paragraphe précédent, nous avons compris que si les pourcentages nous sont donnés, leur utilisation s'effectue par leurs multiplications logiques avec les grandeurs à étudier.
Pour ne pas faire d'erreur il faut comprendre précisément à quelle grandeur se rapporte le pourcentage indiqué.

Il faut toujours bien appliquer le pourcentage à la grandeur qui le concerne. C'est sur la définition de cette grandeur que l'on peut facilement faire une erreur.


Etudiez soigneusement l'exemple ci-dessous :
Lors de l'achat d'un canapé d'une valeur de 1500 €, on bénéficie d'une 1ère remise de 25%, puis sur le prix soldé, d'une 2ème remise de 20%. Quel est le montant à payer ?

La 1ère remise amène le prix à 1500 x 75% = 1125 € (remise 25 %)
La 2ème remise amène le prix à 1125 x 80 % = 900 € (remise 20 %).


  • Une erreur classique consiste à calculer la 2ème remise sur le prix de départ alors qu'elle devra être appliquée sur le prix après la 1ère démarque :

1ère démarque : 1500 x 0,25 = 375 € (soit un nouveau prix de 1125 €)
2ème démarque : 1500 x 0,2 = 300 € (c'est faux, en réalité : 1125 x 0,2 = 225 €)
Montant à payer : 1500 - 375 - 300 = 825 € (c'est faux, en réalité : 1500 - 375 - 225 = 900 €)


  • Une autre erreur classique (en fait cela revient à la même erreur) consiste à additionner les 2 pourcentages. C'est faux car les 2 pourcentages ne s'appliquent pas au même prix :

25% + 20% = 45% (C'est faux car 25% s'applique à 1500 € et 20% s'applique à 1125 €)
Le calcul suivant 1500 € x 45% = 825 € est donc faux.

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Question

Q1: La consommation de fuel pour le chauffage d'un pavillon est de 5000 litres. On envisage 3 opérations de réduction de la consommation étalées sur 3 hivers.

 

Opération réalisée

Economie d'énergie

Hiver n°1

Isolation de la toiture

La consommation baisse de 15 %

Hiver n°2

Remplacement des fenêtres

La consommation baisse de 20 %

Hiver n°3

Remplacement de la chaudière

La consommation baisse de 10%



Calculez l'économie de fuel réalisée chaque hiver après chaque opération d'économie d'énergie.

Hiver n°1 = 750 litres
Hiver n°2 = 850 litres
Hiver n° 3 = 340 litres



Étudiez bien l'explication.


Explication :

  • Hiver n°1 : L'économie de fuel est de 5000 × 0,15 = 750 litres
  • Grâce à la 1ère opération d'économie d'énergie la consommation n'est plus que de :
    5000 - 750 = 4250 litres

  • Hiver n°2 : L'économie de fuel est de 4250 × 0,20 = 850 litres
  • Grâce à la 2ème opération d'économie d'énergie la consommation n'est plus que de :
    4250 - 850 = 3400

  • Hiver n° 3 : L'économie de fuel est de 3400 × 0,1 = 340 litres
  • Grâce à la 3ème opération d'économie d'énergie la consommation n'est plus que de :
    3400 - 340 = 3060
    L’économie totale de ces opérations sera donc de 5000 - 3060 = 1940 litres économisés.
    Soit un gain de l’ordre 38,8 % sur la consommation initiale. (3060 / 5000 = 0,612 = 100 - 61,2 = 38,8)


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Etudiez soigneusement l'exemple ci-dessous :

Une veste a bénéficié d'une remise de 50 € représentant 25% de son prix initial. Quel était le prix de la veste avant les soldes ?

Les 25% n’ont évidemment pas de rapport direct avec les 50 € économisés. Le pourcentage de 25% concerne le prix de la veste avant les soldes (que l’on ne connaît pas).

Nous pouvons écrire :

  • Prix de la veste avant les soldes (que l'on ne connaît pas) = 100 %
  • La remise de 50 € correspond à 25% du prix initial

En conséquence :
50 € = 25% du prix initial
50 € = 25 centièmes du prix initial

Donc 1% (1 centième) du prix initial = 50 € / 25 = 2 €

Le prix de la veste est de 100%, soit 2 € x 100 = 200 €

Nous pouvons vérifier :

  • Prix initial de la veste : 200 €
  • Remise 25% = 200 x 25 % = 50 €
  • Prix de la veste soldée = 200 - 50 = 150 €



Tout cela vous a peut-être semblé compliqué.
En fait, nous prendrons l'habitude d'appeler de la lettre X la grandeur recherchée que l'on appellera l'inconnue (ici le prix initial de la veste).

Nous pourrons écrire :

  • Prix de la veste (que l'on ne connaît pas) = X
  • La remise est de 25% du prix initial = 25% de X = 50 €

Soit :
50 € = 25% x X
Soit :
50 € = 0,25 x X
Soit :
0,25 x X = 50 €
D'où :
X = 50 € / 0,25 = 200 €

Question

Q2: Le manteau en solde a bénéficié d'une remise de 56 € correspondant à une remise de 40% sur le prix initial. Quel était le prix de ce manteau avant les soldes?


140 €

Même si vous avez trouvé le résultat, étudiez bien l'explication ci-dessous pour conforter votre compréhension.




Explication :

Il n'est pas possible d'appliquer le pourcentage indiqué de 40% aux 56 € car il concerne le prix de la veste avant les soldes (que l'on ne connaît pas).

Nous pouvons écrire :
- Prix du manteau avant les soldes (que l'on ne connaît pas)  = 100 %
- La remise de 56 € correspond à 40% du prix initial

56 €  = 40% du prix initial
56 €  = 40 centièmes du prix initial

Donc :
1% (1 centième) du prix initial = 56 € / 40 = 1,4 €

Le prix du manteau est de 100%, soit 1,4 € × 100 = 140 €

Nous pouvons vérifier :
- Prix initial du manteau : 140 €
- Remise 40%  : 140 × 40 % = 56 €
- Prix du manteau soldé  : 140 - 56 = 84 €

Tout cela vous a peut-être semblé compliqué.
En fait, nous prendrons l'habitude d'appeler de la lettre X la grandeur recherchée que l'on appellera l'inconnue (ici le prix initial du manteau).

Nous pourrons écrire :
- Prix du manteau (que l'on ne connaît pas) = X
- La remise est de 40% du prix initial = 40% de X = 56 €

56 € =  40% × X 
Soit :
56 €  =  0,4 × X
Soit :
0,4 × X = 56 €
D'où :
X = 56 €  / 0,4 = 140 € 

Question

Q3: Le loyer mensuel d'un appartement a subi une augmentation de 12% correspondant à une hausse de 96 €.
Quel était le loyer mensuel initial de cet appartement?

800 €

Même si vous avez trouvé le résultat, étudiez bien l'explication ci-dessous pour conforter votre compréhension.


Explication :

Il n'est pas possible d'appliquer le pourcentage indiqué de 12% aux 96 € car il concerne le montant du loyer avant l'augmentation (que l'on ne connaît pas).

Appelons X la grandeur recherchée (ici le montant initial du loyer).
Nous pourrons écrire :
- Loyer mensuel initial (que l'on ne connaît pas) = X
- L'augmentation est de 12% du loyer mensuel initial = 12% de X = 96 €.

96 € = 12% × X
Soit :
96 € = 0,12 × X
Soit :
0,12 × X = 96 €
D'où :
X = 96 € / 0,12 = 800 €